第五章频率响应法.ppt

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1、自动控制理论：,数学模型 系统分析 （稳 准：稳态特性 快：动态特性） 时域分析 复数域分析(根轨迹分析) 频域分析 系统设计,第五章 频 域 分 析 法,5.1 频 率 特 性,5.2 典型环节和开环频率特性,5.3 奈奎斯特稳定性判据,5.4 稳 定 裕 度,5.5 闭环频率特性,End,本章作业,频域分析法：是利用频率特性来研究系统,一、什么是频率特性？ 频率响应，指的是：不同频率的正弦输入信号作用下，系统的稳态响应的特性。 具体哪些特性？ 二、频率特性与传递函数的关系？ 三、频率特性如何表示？（数学形式？图形？）,5.1 频 率 特 性的基本概念,频率特性的概念,设系统结构如图，,由劳

2、斯判据知系统 稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,5.1 频率特性,A,B,相角问题, 稳态输出迟后于输入的角度为：,该角度与有,A,B,该角度与初始,A() 称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,基本概念（物理意义）,5.2,5.3,5.4,5.5,设系统稳定，则正弦输入时输出为：,C(s)= (s)R(s)=,Cs(s)=,ct()=0,系统稳定，,频率特性,Cs(s)=,一、什么是频率特性？ 不同频率的正弦输入信

3、号作用下，系统的稳态响应的特性。 1、线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号 2、稳态输出的幅值和相位都随频率变化 3、两个定义 幅频特性：稳态输出与输入的幅值比，随输入的频率变化。A() 相频特性：稳态输出与输入的相位差，随输入的频率变化。 () 4、频率特性： 幅频特性和相频特性 统称为系统的 频率特性 它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。,输入,二、频率特性与传递函数的关系？,相频特性： () = G(j),根据定义：,若已知传递函数G(s)，可直接得到频率特性: G(j) = G(s) s=j,频率特性是系统的一种数学模型，是频域中的数学模型,输

4、入, 传递函数: G(s),G(j) = G(s) s=j= A() e j () = P() +j Q() = A() (),三、频率特性的表示？,指数形式,实频+虚频,图形表示？,极坐标形式,用于描述频率特性的几种曲线（频率特性的图形表示）,三种曲线： 1、幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线、极坐标图） 2、对数频率特性曲线（伯德图、波特图） 3、对数幅相曲线（尼柯尔斯曲线）,1、幅相频率特性曲线：幅相曲线、奈氏曲线、极坐标图 横轴为实轴、纵轴为虚轴，构成复数平面。 对于一个确定的频率 ，必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。 当频率从0变化到时

5、，相应向量的矢端就描绘出一条曲线，这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。在幅相曲线上用箭头表示出增大时幅相曲线的变化方向（绘图：起点、终点、特殊点）,主要用于系统稳定性的分析,因为幅频特性为的偶函数，相频特性为的奇函数，所以从0变化到和从0变化到- 的幅相曲线关于实轴对称，所以一般只画出从0变化到的幅相曲线,2、对数频率特性曲线：波特图、伯德图、Bode图 包括两个图：对数幅频特性曲线 和 对数相频特性曲线 横坐标为角频率，但采用对数 lg 线性分度。 对数幅频曲线：纵坐标的单位是分贝（dB ），线性分度 记作： 对数相频曲线：纵坐标 ，单位是度（）， 线性分度,通常将这两个图形上下放置

6、（幅频特性在上，相频特性在下）， 且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小,将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；,对数频率特性曲线：,横坐标为角频率，采用 lg 分度，十倍频程的长度相等,伯德图优点： 展宽频带 化幅值乘除为加减、 易作近似幅频特性曲线图。,对数分度优点：扩大频带。但坐标原点处不能为0,dec,对数坐标系,3、 对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线 Nichols）： 横坐标：相角 ，单位 ：度（） 纵坐标：L() ，单位 ：分贝db 为参量 均为线性分度,L(),一、什么是频率特性？ 二、频率特性与传递函数的关系？ 三、频率

7、特性如何用图形表示？,5.1 频 率 特 性的基本概念,5.2 典型环节和开环频率特性的图形表示,一、典型环节的幅相曲线（极坐标图） 二、系统开环频率特性的极坐标图 三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图） 四、系统开环频率特性的伯德图 五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线 求开环传递函数,典型环节 比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T0,5.2 典型环节和开环频率特性,积分环节：1/s 微分环节：s,振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1; 式中n0，00，01,5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制,5.1,5.3

8、,5.4,5.5,5.2.3,5.2.2,比例环节的频率特性是G(j)=K，幅相曲线如下左图。,比例环节,图5.4 比例环节的 对数 频率特性曲线,比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L()=20lg| G(j)|=20lgK 和()=0 相应曲线如上右图。,动画演示,积分环节的对数幅频特性是 L()=-20lg,过（1,0）点斜率-20db/dec 而相频特性是 ()=-90o,积分环节,微分环节 G(s)=s和G(j)= j= /2 L()=20lg,而相频特性是()=90o。,动画演示,注意：,传递函数互为倒数，伯德图中 对数幅频特性曲线：关于 0db线 对称 对数相频特性曲线

9、：关于 0。线 对称,G(s)=s,1/T, L()-20lgT =-20(lg-lg1/T),一阶微分环节 G(s)=Ts+1,惯性环节,G(s)=1/(Ts+1),1/T, L()20lgT =20(lg-lg1/T),补充2,转折频率,补充1,近似,低频,高频,极坐标图,当由零至无穷大变化时，惯性环节的极坐标图是正实轴下方的半个圆周，证明如下：,这是一个标准圆方程，其圆心坐标是 ，半径为 。 且当由 时， 由 ， 说明惯性环节的极坐标图是实轴下方半个圆周,推广： 当惯性环节传递函数的分子是常数K时， 即 其极坐标图是圆心为 ， 半径为 的实轴下方半个圆周。,当 时， ， 当 ， ， 用两

10、条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在 的低频段 时， ，与零分贝线重合；在 的高频段时， ，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。,上述两条直线在 处相交，交点频率 称为交接频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。惯性环节对数幅频特性曲线的渐近线如图4-14所示。,惯性环节 惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是,很明显，距离交接频率 愈远 ，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈 高；反之，距离交接频率愈 近，渐近线的误差愈大。 等于交接频率 时，误差最 大，最大误差为,时的误差是 时的误差是 误差曲线对称于交接频率 ，如图4-15所示。由图4-15可

11、知，惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率 上下十倍频程范围内。交接频率十倍频以上的误差极小，可忽略。经过修正后的精确对数幅频特性如图4-14所示。,惯性环节的相频特性为 (4-75) 当 时， ； 当 时， ； 当 时， 。 对应的相频特性曲线如图4-14 所示。它是一条由 00至-900范 围内变化的反正切函数曲线， 且以 和 的交 点为斜对称。,G(s)=Ts+1，,振荡环节,G(s)=1/(s/n)2+2s/n+1,图5.11 振荡环节的幅相曲线,动画演示,n时L()-40lg/n=-40(lg -lg n),n为转折频率,谐振频率r与谐振峰值Mr： 当阻尼比比较小时，在转折

12、频率= n附近将出现谐振峰值,推导定位38页,积分环节L(),-20,-20,-20,+20,+20,+20,微分环节L(),惯性环节G(j),() = -tg-10.5 ,0,1,-14.5,0.97,-26.6,0.89,-45,0.71,-63.4 -68.2 -76 -84,0.45 0.37 0.24 0.05,惯性环节L(),-20,-20,26dB,一阶微分L(),+20,+20,振荡环节G(j),(01),(00.707),振荡环节G(j)幅相曲线,（Nyquist曲线）,振荡环节L(),-40,振荡环节再分析,n,r,(0 0.707),-40,2,n,n,2,2,n,S,2

13、,S,k,(s),G,w,+,xw,+,w,=,二阶微分,幅相曲线,对数幅频渐近曲线,+40,n,00.707时有峰值：,几点说明,时滞环节,5.2 典型环节和开环频率特性的图形表示,一、典型环节的幅相曲线（极坐标图） 二、系统开环频率特性的极坐标图 三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图） 四、系统开环频率特性的伯德图 五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线 求开环传递函数,1、开环传递函数Gk(s) 2、将s=j带入，得到开环频率特性Gk(j)，并写出幅频A() ，相频() ，实部P()和虚部Q() 3、确定起点(=0）和终点（ ） 4、确定与负实轴、虚轴的交点 5、所在象限、单

14、调性,5.2.2 开环幅相曲线的绘制 P198,5.2.2 开环幅相曲线的绘制,5.2.1,5.2.3,起点,终点,对于0型系统，v=0，起点（K，j0） I型系统， v=1，起于一条平行于虚轴的渐近线上，与虚轴距离Vx= II型系统， v=2，起于一条平行于实轴的渐近线上，与实轴距离Vy=,起点,例题1：绘制 的幅相曲线。,解：,求交点：,曲线如图所示：,开环幅相曲线的绘制,无实数解，与虚轴无交点,例题,1、已知 ，绘制幅相频率特性曲线。 2、已知 ，绘制幅相频率特性曲线。,5.2 典型环节和开环频率特性的图形表示,一、典型环节的幅相曲线（极坐标图） 二、系统开环频率特性的极坐标图 三、典型

15、环节的对数频率特性曲线（伯德图）-见前面内容 四、系统开环频率特性的伯德图 五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线 求开环传递函数,画法1、根据叠加性质画图,5.2.2 开环对数频率特性曲线的绘制,画法2、简便方法画图,两种画法：,各典型环节对数幅频特性之和,各典型环节相频特性之和,叠加： 斜率相加,方法2：简便画法 P202,一般的近似对数幅频特性曲线 有如下特点(重点掌握)： 1.最左端直线斜率为 （ 20）dB/dec, 是积分环节数。,1、开环传函化成若干个 典型环节 串联的时间常数标准形式 2、除了比例、积分和微分环节外，对于其它一阶环节和二阶环节，确定各典型环节的转折频率

16、，并从小到大依次画在横坐标上。然后按下面方法绘制,2.最左端直线或其延长线(当w1的频率范围内有转折频率时)过（=1，201gK 分贝）点和（K1/，0dB)点,3.在转折频率处，折线斜率发生改变。改变多少取决于典型环节种类：在惯性环节的转折频率之后，斜率减少20dB/dec；而在二阶振荡环节的转折频率后，斜率减少40dB/dec；一二阶微分环节后，斜率增加。,20,根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线,例5.1 系统开环传函为 , 试绘制系统的Bode曲线。,解：,已知系统开环传递函数为,试绘出开环对数渐近幅频曲线。,例5.2,绘制L()例题,-20,-40,-20,-40,低

17、频段经过以下两点： （1，32） （40，0）,5.2 典型环节和开环频率特性的图形表示,一、典型环节的幅相曲线（极坐标图） 二、系统开环频率特性的极坐标图 三、典型环节的对数频率特性曲线（伯德图） 四、系统开环频率特性的伯德图 五、对于最小相位系统，如何由开环对数幅频特性曲线 求开环传递函数,5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别,最小相角(相位)系统的开环零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。,幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 。,最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出相应的传递函数 。如：,5.

18、2.1,5.2.2,注意： 高低频的近似,已知最小相位系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,例5.3,波特图判定最小相位系统 低频段： 斜率为 -20vdb/dec，相角 -90v 高频段： 斜率为-20(n-m)db/dec 相角 -90o(n-m),1、应用开环频率特性判断闭环稳定性其中开环频率 特性可部分实验求取； 2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性影响； 3、可以研究包含延时环节的稳定性； 4、可以推广到非线性研究。,Nyquist判据的特点：,Nyquist判据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性。 开环对数频率特性判断闭环系统稳定性。,5.3 奈奎斯特稳定判据,奈氏稳定判据的

19、推导 奈氏稳定判据 奈氏判据在0型、I型及以上系统稳定性分析中的应用 奈氏判据在波特图中的应用,5.3 奈奎斯特稳定判据,一、幅角定理,在 s 平面上任选一复数 s，通过复变函数 F(s) 的映射关系在 F(s) 平面上可以找到 s 相应的象。 若在 F(s) 的零极点分布图上，选择A点，使 s 从A点开始移动，绕 F(s) 的零点 Zi 顺时针依曲线s（ s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从 B 点出发回到 B，也画出一条封闭曲线 F。,若 s 依 s变化时，F(s) 相角的变化为,则有：,从图中可以看出，除,之外，其它各项均为零。,F(s)= -2 表示 s 的象F 从

20、 B 点开始再回到 B点绕着原点顺时针转了一圈。,幅角定理： 设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线 s 内部有 Z个F(s)零点，P个F(s)极点，则 s 沿着 s 顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上，F(s) 曲线绕原点逆时针转的圈数 R 为 P与 Z 之差，即 R= P - Z,同理，若 s 绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象 F绕原点反时针转一圈。,由此，可得映射的幅角定理：,二、F(s)的确定,1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根； 2、其零极点个数相同； 3、F(s) 和 开环传递函数Gk(s) 只差常数。,设：,则：,定义一个辅助函数：,辅助函

21、数 F(s) 有如下特点：,Gk(s)= F(s)-1， F(s)=0， Gk(s)=-1 F(s)平面的原点对应Gk(s)平面的（-1，j0）,幅角定理： 设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线 s 内部有 Z个F(s)零点，P个F(s)极点，则 s 沿着 s 顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上，F(s) 曲线绕原点逆时针转的圈数 R 为 P与 Z 之差，即 R= P - Z,推出： 设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线 s 内部有 Z个闭环极点，P个开环极点，则 s 沿着 s 顺时针转一圈时，在 Gk(s)平面上， Gk(s)曲线绕（-1，j0）点逆时针转的

22、圈数 R 为 P与 Z 之差，即 R= P Z ,即 Z=P-R,三、闭合曲线 s的选择,S平面,将s 取为D型围线，也叫奈氏路径 即：顺时针包含整个s右半平面。 具体组成： 正虚轴：s=j， 由0 变化到 右半平面：半径为无穷大的半圆 为无穷大，-90o90o， 且为顺时针方向 负虚轴： s=j， 由 -变化到0,当s沿正虚轴变化时，在Gk平面上得到的是开环频率特性Gk(j)的曲线， 由0 当s沿右半圆顺时针变化时，在Gk平面上得到的是一个点（ Gk( ) =常数） 当s沿负虚轴变化时，在Gk平面上得到的是开环频率特性Gk(-j)的曲线 即S沿着型围线s顺时针变化时，在Gk平面上得到的是开环

23、频率特性Gk(j)的曲线， 由- 0 ，以及一个点。,设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在封闭曲线 s 内部有 Z个闭环极点，P个开环极点，则 s 沿着 s 顺时针转一圈时，在 Gk(s)平面上， Gk(s)曲线绕（-1，j0）点逆时针转的圈数 R 为 P与 Z 之差，即 R= P Z ,即 Z=P-R,设封闭曲线s上没有F(s)的零点和极点。而在整个s右半平面有 Z个闭环极点，P个开环极点，当 从 - 0 变化时，开环频率特性 Gk(j)的幅相曲线绕（-1，j0）点逆时针转的圈数为 R ，有R= P Z ,即 Z=P-R，显然Z=0时系统稳定,四、Nyquist 判据,Z=P-R Z

24、=0时, 系统稳定,Z:在右半平面闭环特征根（闭环极点）的个数; R: 从- 0，开环频率特性Gk(j)的幅相曲线绕（-1，j0) 点逆时针转过的圈数。 P:在右半平面开环特征根（开环极点）的个数;,由于频率特性关于实轴对称，奈氏判据可简化为,N: 从0，开环幅相曲线 绕（-1，j0) 点逆时针转过的圈数。,Z=P-2N Z=0时，稳定,Z:在右半平面闭环极点的个数; N: 从0，开环幅相曲线 绕（-1，j0) 点逆时针转过的圈数。 P:在右半平面开环极点的个数;,Z=P-2N Z=0时，系统稳定,奈氏稳定判据,注意：当开环传递函数中含有v个积分环节一定要补画。方法：从原开环幅相曲线起始点到正

25、实轴逆时针 虚线补画 半径无穷大的圆弧,当系统的开环传递函数包含积分环节时，,设：,当 = 0 时，,即对 型系统，有：,为避免s经过 Gk(s) 的极点，可采用一无限小的圆弧来绕过这些位于虚轴上的开环极点，从而可以应用 Nyquist 判据。,绕过原点处的极点会产生何种影响呢?,S 平面上原点映射到 Gk(s)平面上的无穷远处，而s 从 s 上的 a点移至 c 点时，(在s=0附近),，在 a 点,，故,在 c 点,，故,在 b 点,，故,可见，半径为1的小圆弧在 Gk(s) 上的映射是半径无穷大的v/2个圆，其方向为顺时针。,再考虑到 Gk(j)幅相曲线从 =0 至 ，1 圆弧仅考虑 bc

26、，故在应用 Nyquist 判据时，遇到开环传递函数有原点处极点（即有积分环节）的情况，应对 Gk(j)从频率 0+ 对应的点开始，逆时针方向补画 v/4 个无穷大半径的圆。,Z:在右半平面闭环特征根（闭环极点）的个数; N: 在G平面，从0，开环幅相曲线 绕（-1，j0) 点逆时针转过的圈数。 P:在右半平面开环特征根（开环极点）的个数;,Z=P-2N Z=0时, 稳定,奈氏稳定判据,注意：当开环传递函数中含有v个积分环节一定要补画。方法：从原开环幅相曲线起始点到正实轴逆时针 虚线补画 半径无穷大的圆弧,试分析系统稳定性。,例：系统的开环传递函数为：,解：该系统开环幅相图如右，由图中 G(s

27、)H(s) 的 G(j)H(j) 曲线不包围 （-1，j0）点可知，该系统稳定。,事实上，本题中，只要 K，T1，T2 均大于零，G(j)H(j) 的幅角只会在 0 -1800内变化，不会与负实轴相交，因而不会包围（-1，j0）点，因此只要 K，T1，T2 均为正数，系统总是稳定的。,例：某单位反馈系统,试用 Nyquist 判据判断其稳定性。,解：系统的开环幅相图如右，由于有二阶积分环节，补画半圆。可见，幅相曲线包围（-1，j0）点一次，而开环系统稳定，故闭环系统不稳定。,例:试判断下列系统K=2 时闭环是否 稳定,并确定临界放大系数。,解：,由幅相曲线可知， K=2 时系统不稳定。,令上式

28、虚部等于零，得,，即,将,代入 G(j)H(j) 得：,，令,可得,由幅相曲线可知， 不同K值时,例 判断以下系统的闭环稳定性。,从=0+开始，逆时针补画90、半径为无穷大的圆弧。,Z= P 2N 为（-1，j0)点或零分 贝值以左的穿越次数。,穿越时（频率增大方向）： 相角增大为正穿越N+， 相角减小为负穿越N- , 未穿透为半次穿越,奈氏判据的具体应用：利用正负穿越,例,若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点； 若系统开环不稳定（在 s 右半平面有 p 个开环极点），则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方向包围（-1，j0）点 p/2 次。,Nyq

29、uist 判据可分为两种情况：,证明：将s 取为虚轴和右半平面半径为无穷的圆，幅角原理的 p 和 z 则表示F(s)位于右半 s 平面的开环极点和零点的个数。,BACK,S平面,故 s 沿 s 顺时针环绕一圈时，在 F(s) 平面上 F 绕原点反时针圈数为 R = p z,若系统稳定，则 F(s) =1+ G(s)H(s)在 s 平面的右半部（即 s所围区域内）没有零点（闭环极点）。即环绕 F(s)原点数为 R= p-z|z=0= p,为进一步简化，我们不作 F(s) 曲线，仅画 G(s)H(s) 曲线，由前所述，F(s) 与 G(s)H(s) 仅差单位 1，G(s)H(s) 曲线是将 F(s

30、) 平移（左移）一个单位而得，从 G(s)H(s) 图上看，F(s) 原点相当于 G(s)H(s)图上的（-1，j0）点。,S平面,GH,F(S)平面,F,因此，在 G(s)H(s) 图上，若希望系统稳定，G(s)H(s) 的曲线环绕（-1，j0）点次数为 R = p 0，这里 p 为开环系统在右 s 平面的极点数。,由于我们做幅相图时，j 取 =0 到 ，因而仅是 s 的部分路径（对于的半圆倒无妨，反正它退化在 G(s)H(s) 平面上的原点邻域，与（-1，j0）点并无关系），因此， 结论成立。 定理证毕 。,五、Nyquist 判据在对数频率特性中的应用,在开环 G(j)H(j) 平面上的

31、单位圆反映到对数坐标图上是 0dB 线。在 G(j)H(j) 平面上负实轴反映到对数坐标图上是1800 线。 因此，G(j)H(j) 线不包围（-1，j0）点转换到对数坐标上是：在 L() 0dB 的频段内，相频特性曲线不穿越1800 线。 因此，Nyquist 判据用在对数频率特性上表达为： 一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数 Z ，可以根据开环传递函数右半 s 平面极点个数P和开环对数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与-1800 线的正负穿越之差 N=N+-N- 确定， 即 Z= P-2N，系统稳定的充要条件是 Z=0 (N= p/2),幅相曲线、对数频率特性曲线N+，N-

32、 请看下例：,由幅相图上看，幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数为0，此结论也可以根据 增加时的幅相曲线穿越负实轴来确定，将由下往上穿越称为负穿越（如 C 点），而将由上往下称为正穿越（如 B 点），A点不必考虑， 仅考虑负实轴上（-，-1）部分（即 0dB 以上部分）。,C,把增加时,相角()减少的称负穿越，把增加时,相角()增加的称正穿越。,同样地，当G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上 为 0+ 的地方，应补画一条从相角 0 度到 G(j0+)H(j0+)的虚线，将虚线的穿越也算入穿越的统计内。,例：系统的开环传递函数为,试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。,-40dB/de

33、c,-60dB/dec,1/T,解：系统伯德图如右，,由于p=0，故z = 0 - 2(-1) =2 所以系统不稳定，且可以进一步指明，系统闭环特征方程右半 s 平面根的个数z = 2,G(s)H(s)有两个积分环节，相频特性从-180 0 开始，但需从 0 0 线补画一虚线在 = 0+ 处，故 N=N+- N-= -1,例：幅相曲线与对数频率特性曲线稳定判据比较,5.4 稳定裕度,工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相图曲线不包括（-1，j0）点，若能保证不但不包括（-1，j0）点，而且离（-1，j0）点有一定距离，则系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅相曲线也不会包围（-1，

34、j0）点，则称系统有一定的稳定裕量。 稳定裕度（量）: 相角裕度（量） 和 幅值裕度（量）,相角裕度是指在幅值等于1的频率上，使系统达到稳定边界所富余的相角迟后量： = 1800 + (c) c G(j)H(j) 曲线与单位圆 交点处的频率（幅值穿越频率 、截止频率。 ）,幅值裕度指 G(j)H(j) 相角等于1800 时（G(j)H(j) 与负实轴交点处幅值G(jg)H(jg)的倒数：,g G(j)H(j) 曲线与负实轴交点处的频率（相角穿越频率）,相角裕度表示使系统到达稳定边界所允许增加的开环传递函数的相位滞后。 = 1800 + (c),幅值裕度表示使系统到达稳定边界所允许增大的开环传递

35、函数的放大倍数。,系统稳定，则 h1、0 。,通常把对数频率特性分为低频区、中频区和高频区,5.5 对数频率特性和系统性能的关系,1、低频区：一般指第一个转折频率之前的部分,系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏； 低频特性渐进线决定系统的稳态误差； 低频特性渐进线是 0dB/dec 的系统是0型系统； 低频特性渐进线是 -20vdB/dec 的系统是 v 型系统；,1型系统低频渐进线的斜率是-20dB/dec，作低频渐进线的延长线与 0dB 线相交，交点的频率数值就是系统的静态速度误差系数KV，如下图：,确定 K 值有两种方法，均基于积分环节的如下公式：,，,2、设低频渐进线（或其延长线）

36、于 0dB 交于 k，由,，得,-20dB/dec,=1,k,20lgK,-20dB/dec,20lgK,=1,k,K 1,K 1,同理，对2型系统，有,，得,因此，0 型系统的Kp可以通过低频特性渐进线之高度来确定； 1 型系统 的Kv= k ；2型系统的Ka= k2 。,例：根据Bode图确定传递函数，并求穿越频率c 。,解：该开环传递函数的形式为：,显然这是2型系统，K=102；,由图中可得：,即,而依-20dB/dec线段， 2 距 1为100倍（2dec），,所以：,2、中频区,中频区对系统的动态性能影响最大； 中频区一段是指幅值穿越频率 c 附近的频段。习惯上把零分贝线上+30dB

37、至零分贝线下-15dB称为中频区； c 反映系统的快速性， c 附近的幅频特性的斜率决定系统的相对稳定性，斜率越大，超调量越小； 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性有对应关系，对数幅频特性斜率越大，其相角迟后越小，相位裕度也越大，超调量就较小； 通常在 c 附近的斜率应取 -20dB/dec，这个要求往往通过设计系统时加以适当的校正环节来达到； 2 与 3 离 c 越远，系统的超调量越小。,3、高频区,高频区对应于系统的小时间常数，系统存在一个或数个小时间常数的惯性环节，它们将使高频区幅频特性出现转折，使系统的相角余量变小。但若离c很远，它对相角余量的影响不大，因而对系统的品质影响不大，可以

38、忽略。 由上述分析可知，为使系统满足一定的稳态和动态指标，对开环对数幅频特性的形状有如下要求： 低频率要有一定的宽度和斜率，中频率要有足够的宽度，斜率取-20dB/dec为宜，高频率采用迅速衰减的特性以抑制不必要的高频噪声。,工程上采用的典型开环对数幅频特性如上图，其中,通常取,对于该种典型系统，有如下经验公式：,粗略估计时，取,或,精确估算时，取,开环频率特性与闭环频率特性之间有一定的联系，因而可以通过开环频率特性求取系统的闭环频率特性。,由,得：,若单位负反馈,5.6 闭环频率特性,一、等M圆和等N圆,当M取定值时，上式所描绘的轨迹上的M都相等，称等M轨迹。 若 M=1有 x = -1/2

39、 该式表明，在开环极坐标图上，过（-1/2，j0）点且平行于 y 轴的垂线上任意点，相应闭环频率特性的幅值为1。 若 M 1，则上式可化为：,则有,设,化简，得,当 M 1时，随 M增大，等 M 圆越来越小，最后收敛于（-1，j0）点，这些圆心在（-1，j0）点左边，圆在 M = 1 直线左边。 当 M1时，随 M 减小，等 M 圆收敛于原点，圆心在原点右边，圆在M=1直线右边。,该式表明，等M圆的轨迹是圆心在,半径为,的圆。,即,这些圆称为等 N 圆。等 N 圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加 1800 时，其正切值相同，因而在同一圆上。 利用标有等 M 圆和等 N 圆的坐标纸，将极坐标开

40、环幅相曲线画上，即可求得相应频率的 M，值。 对应于与幅相相切的且有最小半径的圆的M值，为谐振峰值Mr。,用等M圆,等N圆求系统的闭环频率特性，必须画出系统的开环幅相图。利用 Nichols 图则可根据开环对数坐标图求得闭环频率特性。,二、尼柯尔斯（N.B.Nichols）图,尼柯尔斯图可由等 M 圆和等导N 圆转换而得。,三、带宽,当闭环幅频特性下降到零频时的闭环幅频特性以下 3分贝时，对应的频率 b 称为带宽频率。 0b称为系统的带宽。,对于 I 型或 I 型以上的系统有：,此时：,一阶和二阶系统带宽与瞬态响应有着明确对应的关系：,故,一阶系统：,可得,而由时域分析：,故有：,令,得,由时域分析中：,可知： ts 与 tr 均与 n 成反比关系， 也即与b成反比关系。,欠阻尼二阶系统：,等M圆和等N圆 尼柯尔斯曲线,注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。,如何利用闭环频率特性分析动态响应： “频带宽、峰值小，过渡过程性能好” 时域指标估算中利用的对应关系：,闭环频率特性曲线绘制的方法,本 章 作 业,P237 2，4 频率特性的基本概念 6 ，8，9 开环幅相曲线的绘制 11，12 对数频率特性 14（1、2、3、4、7），15，16 奈氏判据 总结,