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    有限元分析与应用-教学课件.pdf

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    有限元分析与应用-教学课件.pdf

    1 有限元分析与应用 主讲人龚曙光 机械工程学院 E-mail gongsgxtu.edu.cn Tel 8292215 13875263068 第1 章 有限元分析的基本原理 1.1 各力学学科分支的关系 科学研究的目的 定量获 取所 研究 对象 的所有 信息 。 即包括 1 确定对象 2012/2/10 2 1 确定对象 2 定义参量或变量 3 获得定量关系 4 推广到该类问题的任意情 形 力学主要包括理 论力学 、材 料力 学、 弹性力 学、 结 构力学和弹塑性力 学 基本假设 弹性力学 1. 假定物体是连续的 2. 假定物体是完全弹性的 3. 假定物体是均匀的 材料力学 1. 连续性假设 2. 均匀性假设 3 各向同性假设 2012/2/10 3 4. 假定物体是各向同性的 5. 假定位移和形变是微小 的 满足前4 条为理想弹性体 3. 各向同性假设 4. 小变形条件 材料力学 对象简单变形体 特征变形 小 简单形状的体 变量 1 材料物性描述 2 变形方面描述 3 力的平衡描述 弹性力学 对象任意变形体 特征变形 小 任意形状的体 变量 1 材料物性描述 2 变形方面描述 3 力的平衡描述 2012/2/10 4 方程 1 物理本构方程 2 几何变形方程 3 力的平衡方程 三大变量 ←→三大方程 求解方法简化求解法 变形体 方程 针对微体dxdydz 1 物理本构方程 2 几何变形方程 3 力的平衡方程 三大变量 ←→三大方程 求解方法解析法、半解析法 1. 2 任意变形体力学分析的基 本变 量及 方程 研究对象任意形 状的变 形体 2012/2/10 5 2012/2/10 6 3 压力容器2 变形体及受力情况 的描述 基本变量 位移 应变 应力 u   基本方程 1 力的平衡方面 2 几何方面 3 材料方面 2012/2/10 7 3 材料方面 三大类变量 ←→ 三大类方程 求解方法 1 经典解法 2 半解析法 3 传统数值求解 4 现代数值求解 1.3 有限元方法的思路及发展 过程 思路 以计算机为工具,分析任意 变形 体以 获得 所有 力学信 息, 并 使得该 方法 能 够普及 、简 单 、高效 、 方便,一般人员可 以使用 。 发展过程 2012/2/10 8 发展过程 连续体 离散体 两个重要工具 1 在理论推导方面采 用矩阵 方法 2 在计算中采用了计 算机 如 屋顶结构 支承 杆 铰接 真实结构 物理模型 2012/2/10 9 实现过程 力学模型 分解过程 分解过程 组装与求解过程 组装与求解过程 EFM 模型 消除载荷 与约束 单元 集成 合并 2012/2/10 10 与约束 分解 单元 施加载荷 与约束 求解与计算 2012/2/10 11 2012/2/10 123 2012/2/10 13 1.4 有限元方法的工程应用 (1 )包括平衡问题 或不 依赖于 时间 的问 题 。 (2 )固体力学和流 体力 学的特 征值 问题 。 (3 )连续介质领域 的许 多随时 间变 化的 问题 或传播 问题。 它已由平衡问题扩展到 稳定 问题与 动力 问题 ,能 2012/2/10 14 它已由平衡问题扩展到 稳定 问题与 动力 问题 ,能 对结构在地震与波 浪力作 用下 的动 力反 应进行 分析 ; 它已由弹性问题扩 展到弹 塑性 与粘 弹性 问题, 能解 决 土力学、岩石力学 、断裂 力学 等问 题; 它已由 结构 的 应力分析扩展到结 构的优 化设 计。 除此 ,它在 流体 力 学、热传导、磁场 、建筑 声学 、生 物力 学等等 方面 都 有不同的程序的应 用。 有限元的工程应用 房 屋 的 地震分析 2012/2/10 15 有限元的工程应用 接触分析 2012/2/10 16 有限元的工程应用 动力学分 析 2012/2/10 17 有限元的工程应用 焊 接 过 程的模拟 2012/2/10 184 有限元的工程应用 振动与模态分析 2012/2/10 19 有限元的工程应用 弯管成型 2012/2/10 20 有限元的工程应用 齿轮传动 2012/2/10 21 有限元的工程应用 计算流体动力学 2012/2/10 22 第2 章 弹性力学基础 2.2 变形体的描述与变量定义 1 变形体 变形体即物体内 任意两 点之 间可 发生 相对移 动。 2012/2/10 23 有限元所处理的对 象任 意变 形体 。 任意变形体 基本变量 基本方程 2 基本变量的定义 可以用以下各类变 量作为 任意 变形 体的 描述。 主位移 物体变形后的形状 应变 物体的变形程度 2012/2/10 24 应力 弹性常数 物体的受力状态 物体的材料特性 图2.1 变形体的描述及所需要的变量5 因此,在材料确定的情 况下 基 本的 力学变 量 应该有 位移 应变 应力 2012/2/10 25 目的 对弹性体中的位移 、应力 、应 变进 行定 义和 表达,进而建立平 衡方程 、几 何方 程和 物理 方程。 3 研究的基本技巧 采用微小体积元dxdydz 的分 析方 法以针 对任 意 变形体 2.3 弹性力学问题的基本方程 分量 形式 、指标 形式 三大类方程 力的平衡方程 几何变形方程 材料的物理方程 2012/2/10 26 材料的物理方程 边界条件 位移方面 外力方面 1 三大类方程之一力的平衡方程 a dc b x, y xx  xy  yx  yy  xx xx dx x      yx yx dx x      yy yy dy y      xy xy dy y      x b y b O y x t y z 1 1 二维情形下三大力学方程和边界条件 二维情形下三大力学方程和边界条件 2012/2/10 27 图2.2 平面问题中的应力描述 由高等数学的Ta y l o r 级数展开有 2-4 约去二阶以上的微量,有 2-5 各侧面上的应力表达应注意以下几点 各侧面上的应力表达应注意以下几点 有四个侧面; 应力分解为所在平面法线方向和切线方向分量; 应力在经过dx 或dy 变化后的位置上有增量表达; 约定正应力没法线方向为正,剪应力的方向 如图1-2 所示; 应力在dx 和dy 上为均匀分布。 2012/2/10 28 结论 可以看出,二维直角坐标系下的平面问题应 力分量应该有 yx xy yy xx     , , , 写成指标形式,为 2 , 1 ,   j i ij 即 yy yx xy xx             22 21 12 11 , , , 微单元体的几个平衡关系 微单元体的几个平衡关系 1 沿x 方向所有合力的平衡 2 沿y 方向所有合力的平衡 3 所有合力关于任一点的力矩平衡 即有   0 x F   0 o M  0 F   0 y F 2012/2/10 29   0 y F   0 x F 化简后有   0 o M 同理有 归纳上述推导,有应力平衡方程 归纳上述推导,有应力平衡方程 2-6 2 7 2012/2/10 30 即有 2-7 或写成指标形式 0 ,    i j ij b 2-8 其中下标,j 表示对该物理量求j 方向的偏导数。6 2 三大类方程之二几何变形方程 设一个平面直角在变形前为APB ,而变形后为A’P’B’ 如图2.3 所示 A p x xd x y dy P’ u v u ud x x    v vd x x     2012/2/10 31 图2.3 平面问题中的变形表达 B y dy A’ B’ x  v vd y y    u ud y y     下面从3 个方面来图2.3 中的变形情况 1 定义x方向的相对伸长量 2 定义y 方向的相对伸长量 3 定义夹角的变化 2012/2/10 32 3 定义夹角的变化 则定义夹角的总变化为 归纳以上推导,则平面问题的几何变 形方程为 归纳以上推导,则平面问题的几何变 形方程为 2-9 2012/2/10 33 写成指标形式 2-10 注意 a u i,j 中的下标表示u i 对j 方向求偏导数; b 相容 相容 变形协调 变形协调 方程 方程 分别 求对y 、x的二阶导数有 y x   , 2 3 2 2 y x u y x        2 3 2 2 x y v x y        两式相加,有 v u            2 2 2 2 2012/2/10 34 y x x v y u y x x y xy y x                              2 2 只有当应变分量 满足这一方程时,才能求出位移分量u、 v 。 其物理意义为 xy y x    , , 2-11 3 三大类方程之一材料的物理本构方程 由广义Hooke 定律,有二维平面应力情况下的物理 物理 方程 方程 ,如下 或逆形式 2-12 2012/2/10 35 或逆形式 2-13 上式中,E 、G 、 μ 为材料常数,且有关系式 1 2    E G 也可将上式写成指标形式,即有 kl ijkl ij D    1 2-14 2012/2/10 36 或逆形式 kl ijkl ij D    式中,D ijkl 为弹性系数矩阵 张量 。 2-157 4 边界条件 一般包括位移方面 的力平衡方面的边界条件。 a 位移边界条件 平面问题中应有关于x 方向和y 方向的位移边界条件。即有    u u 2-16 2012/2/10 37     u v v  on 式中 和 为指定的沿x 方向和y 方向的位移 平面问题 , 为给定的位 移边界。 u v u  2-16 b 力的边界条件 在力边界上取微体dxdy 平面问题 ,如图2.4 所示 2012/2/10 38 图2.4 力的边界条件 由微体x 方向的平衡,有 注意ds 为边界斜边的长度,边界外法线n的方向余弦为 ds dx m ds dy l / , /   则上式简化为 p m l     2012/2/10 39 x xy xx p m l       将微体的三个平衡方程汇总后有 2-17 其中由剪应力互等定理,上式可重写为 2-18 综上所述,将边界条件写成指标形式 位移 i i u u  on ,  2-19 2012/2/10 40 位移 u i i u u  on , 力 p i j ij S p l on ,   2-20 2 2 三维情形下三大力学方程和边界条件 三维情形下三大力学方程和边界条件 1 平衡方程                                        0 0 Z yz y zy y xy x zx yx x b z y x b z y x 2-21 2012/2/10 41               0 z Z yz xz b z y x 若采用指标形式, 则有 0 ,    i j ij b 或 0     b σ 2-22 2-23 2 几何变形方程                                           x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x, ,, 2-24 2012/2/10 42  若采用指标形式, 有 2 1 , , i j j i ij u u    2-25 注意 j i ij ij     , 2 18 3 物理方程                           1 1 1 1 xy xy y x z z x z y y z y x x G E E E                  或                                                                    1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 xy xy z y x z z y x y z y x x E E E E                                     2012/2/10 43       11 zx zx yz yz G G                   1 21 2 1 2 zx zx yz yz E E        指标形式 kl ijkl ij D    1 kl ijkl ij D    或 2-26 2-27 2-28 4 边界条件 位移BC u w w v v u u  on         2-29 力BC p y zy y xy x zx yx x S p n m l p n m l on                       2-30 2012/2/10 44 z z yz xz p n m l            若采用指标形式, 有 u i i u u  on ,  p i j ij S p l on   2-31 2-32 3 3 力学参量的分量形式与 指标形式的对应关系 力学参量的分量形式与 指标形式的对应关系 三大类力学变量 位移  w v u u u u u i  3 2 1 应力    ij                31 23 12 33 22 11 2012/2/10 45   zx yz xy zz yy xx        应变                       zx yz xy zz yy xx ij 2 1 2 1 2 131 23 12 33 22 11 4 4 力学变量及方程的特征 力学变量及方程的特征 独立变量的数目 3 个位移变量;6 个应力分量;6 个应变分 量;共15个变 量 独立方程的数目 3 个平衡方程;6 个几 何方 程;6 个物 理方程 ;共 15 个方程;外加两类边界 条件。 2012/2/10 46 以上变量和方程是针对 从任 意变 形体 中所取 出 来的dxdydz 微体 来建 立的 ,因 此无论 所研 究的 对象 的几何形状和边界 条件如 何不 同, 其基 本变量 和基 本方程是完全相同 的,不 同之 处在 于边 界条件几何 形状 ,所以,求解 的难 度是 如何处 理边 界条 件 几 何形状 。 2.4 讨论 1 1 平面应力问题 平面应力问题 在工程问题中,常 有如下 结构 2012/2/10 47 图2.6 图2.7 这些结构的特点有 1 在几何外形上,它们都是等厚 度的平 面薄板 。 2 在 受力状 态上 ,面力都 只作用 在 板边上, 且平行 于 板面, 并且不沿厚度变化;体力也平行于板 面,并 且也不 沿厚度 变 化。 设有很薄的等 2012/2/10 48 图2.8 平面应力问题 厚度薄板,所受 外力在xoy 平面 不随z 变化 ,见 图2.8 ,则在板 的内外表面有9 0 2    t z z  0 2    t z zx  0 2    t z zy  由于板很薄,可近 似认为 在整 个板 内处 处有 0  z  0  zx  0  zy  并且所有力学变量 都是x y 的函数 不随z 变化 即有 2012/2/10 49 并且所有力学变量 都是x, y 的函数 , 不随z 变化,即有 0 , 0     zy zx 但 y x z E        这样,将上述等式 代入到 三维 问题 的公 式中, 变量 有 位移 应力 应变 v u, xy y x    , , xy y x    , , 平面应力的基本方 程 1 平衡方程             0 x yx x b 2 几何方程        x u x 3 物理方程            y x x E 1 2 2012/2/10 50                  0 y y xy x b y x y x                    y u x v y v x xy y                       xy xy x y y E E 1 2 1 2                  y y xy x yx x p m l p m l 4 边界条件      v v u u 和 2 2 平面应变问题 平面应变问题 在工程实际中,会 遇到下 列结 构 特点 1 在几何形状上, 它们都是一个近似 2012/2/10 51 图2.9 大坝 图2.10 受压圆管 它们都是 个近似 等截面的长柱体, 它们的长度要比横 截面的尺寸大得很 多。 2 在受力情况下,它们都只受到 平行于 横截面 ,且沿 纵向长 度 均布的面力和体力。有的在纵向的两 端还受 有约束 。 设有一无限长等截面柱 形体 ,所 承受 外载不 随z 变 化,如图2.11 所示,任 一截 面都 为对称 面, 则有 0  w 0   zx 0   yz 所有变化都是x, y 的函数,不随z 变化 对原三维问题进行 简化, 有 0   0         2012/2/10 52 图2.11 0  zx  0  zy  y x z      基本变量有 位移 应力 应变 v u, xy y x    , , xy y x    , , 平面应变的基本方 程 1 平衡方程                          0 0 y y xy x yx x b y x b y x 2 几何方程                      u v y v x u y x 3 物理方程                                              1 2 1 1 1 1 2 2 x y y y x x E E 2012/2/10 53        y x xy                  y y xy x yx x p m l p m l 4 边界条件      v v u u          xy xy E 和 通过比较两种平面问题的方程可 知,除 物理方 程外, 其它方 程相同,若将平面应力问题中的E 换成 , 换成 ,则 可得到平面应变问题的物理方程。 2 1   E    1 E 3 3 刚性位移的表达 刚性位移的表达 以平面问题为例, 刚体位 移意 味着 物体 内无任 何应 变, 则                         000 u v y v x u y x ,其解的形式为              0 , , 2 1 2 1 d x df d y df x f y x v y f y x u 2012/2/10 54       0 y x xy   dx dy 要使上面的第三式 成立, 则有     dy y df dx x df 1 2 则有           0 1 0 2 u y y f v x x f10 即刚体位移的表达 式为           0 0 , , v x y x v u y y x u 关于系数 物理意义的讨论如下  , , 0 0 v u 1 令 , 0 , 0 0    v 则      0 , , 0 y x v u y x u 表示x 方向的刚体位移 0 u 令   0 y x u 2012/2/10 55 2 令 , 0 , 0 0    u 则      0 , 0 , v y x v y x u 表示y 方向的刚体位移 0 v 3 令 , 0 , 0 0 0   v u 则         x y x v y y x u , , 其合成的位移d 为该点p 绕o 点 的转动 ,转 动的 角 度为 如图2.12 所示  图2.12 2.4 轴对称问题 在空间问题中,如果弹 性体 的几何 形状 、约 束情 况,以及所受的外 来因素 ,都 是对 称于 某一轴 (通 过 该轴的任一平面都 是对称 面) ,则 所有 的应力 、应 变 和位移也就对称于 这一轴 ,这 种问 题称 为空间 轴对 称 问题。 分析空间轴对称 2012/2/10 56 分析空间轴对称 问题常采用柱坐标 系 即 来描述,并 将弹性体的对称轴 定 义为z 轴,如图2.13 所 示。微元体为 z r , ,  图2.13 轴对称问题的微元体 drdz rd  1 1 平衡方程 平衡方程 0          r z r zr r K r z r     0         Z r r z rz rz z    2-33 2 2 几何方程 几何方程 2012/2/10 57 2 2 几何方程 几何方程 r u r     r u    z w z     z u r w zr        2-34 3 3 物理方程 物理方程 对于轴对称问题, 其物理 方程 为                                                1 2 1 1 1 1 E E E r z z r z z r r 2-35 2012/2/10 58             zr 1 2 1 E G zr rz 4 4 边界条件 边界条件 位移BC u r r w w u u  on      力BC p i j ij S p on    2-36 2-37 因此,轴对称问题 的基本 变量 有 位移 应力 应变 w u, rz z r      , , , rz z r      , , , 以上共有10 个基本变量, 而空 间轴 对称问 题共 2012/2/10 59 以上共有10 个基本变量, 而空 间轴 对称问 题共 有10 方程,利用这10 个方程 ,即 可求 出弹 性力学 轴 对称空间问题的解 。 2.7 弹性问题中的 能 量表 示 弹性问题中的自然 能量包 括两 类 外力功 应变能或应变余能 以位移为 以应力为 2012/2/10 60 以位移为 基本变量 以应力为 基本变量 出于研究的需要,还要 定义 一些 由自 然能 量所组合的物理量 ,如势 能、 余能 等。11 1. 1. 外力功 外力功 由于外力又包括作用在 物面 上的面 力和 体力 ,则 外力功包括这两部 分所作 的功 。 面力 在对应位移 上所作的功 体积力 在对应位移 上所作的功 i p i b i u i u on u  Ω in 则外力的总功为   A b V d d Ω 2012/2/10 61 2-38 用矩阵表示为 ] [ ] [ 2 1 F q V T  2-39 式中 T n F F F F ] [ ] [ 2 1   ] [ ] [ 2 1 n u u u q               p p S z y x z y x S i i i i A w p v p u p w b v b u b A u p u b V d d Ω d d Ω Ω Ω 2. 2. 应变能 应变能 在3D 情形下变形体 应力 与应 变的对 应变 量为   zx yz xy z y x         zx yz xy z y x       对应于 其变形能包括二个 部分 2012/2/10 62 其变形能包括二个 部分 对应于正应力与正应变的 变形 能 对应于剪应力与剪应变的 变形 能 1 1 正应力与正应变 正应力与正应变 如图2.16 所示, 在xoy平面 内考 察应 变能 , 这时 微体的厚度在dz ,设 微体dxdydz 上只 作用有 与 , 则由 可由试验所得 的关系 求得 的微 体上的 变 形能为 x  x  u F   2012/2/10 63 图2.16 微体上F 所作的功 2-40 则在整个物体 上 与 的产生的变形能 Ω x  x  2-41 2012/2/10 64 写成矩阵形式为 ] [ ] [ 2 1   T U  2-42       Ω Ω Ω ] [ ] [ 2 1 Ω 2 1 d d U U T 同样有 2-43 式中     T z y x          z y x      2 2 剪应力与剪应变 剪应力与剪应变 先考察一对剪应力 与剪应 变, 如图2.17 所示 。 2012/2/10 65 图2.17 这时微体的厚度为dz , 设微体dxdydz 上只 作用 有 与。 xy  xy  则由 与 作用,在微体上产生的 能量 为 xy  xy  2-44 由在整个物体 上,由 与 所产生的变形能 Ω xy  xy  2012/2/10 66 2-45     T zx yz xy          zx yz xy      写成矩阵形式为       Ω Ω Ω ] [ ] [ 2 1 Ω 2 1 d d U U T 2-46 式中12 3 3 整体变形能 整体变形能 由叠加原理,将所有方向的正应 力应变和剪应力应 变所产生的变形能 相加, 可得 到整 体变 形能为                              Ω T Ω Ω d Ω 2 1 d Ω 2 1d Ω 2 1 ij ij zx zx yz yz xy xy z z y y x x U 2-47 2012/2/10 67 Ω Ω 式中 T zx yz xy z y x            zx yz xy z y x         3. 3. 势能 势能 定义系统的势能为                   p S i i i i ij ij u p u b V U dA d Ω d Ω 2 1Ω Ω  2-48 2012/2/10 68 写成矩阵形式为   F q V U T T Ω 2 1 d Ω 2 1        2-49 2.8 杆梁问题的解 析解 2.8.1 一维拉压杆问题 如下图所示为一根杆模型,已 知该杆 的长度 为l , 横截面 积为A ,弹性模量为E ,其作用的外力为P 。 2012/2/10 69 1 、基本变量 因为是一维问题,即所有变量均为x 的函数 关系, 即有 ux x x  x x  位移 应变 应力 2 、基本方程 将上述三大变量代入到弹性力学三大 方程中 有 平衡方程 几何方程 物理方程 0 x d dx   x du dx   xx E    因无体力作用 力界条件 | 0 ux  | P x   位移 力 2012/2/10 70 2012/2/10 70 力界条件 0 | 0 x ux   | xx l x A    位移 力 3 、求解 对上述方程求解后可以得到 1 / / x x xc xcE ux c xE c            代入边界条件 x x P x A P x EA P ux x EA               与材料 力学结 果相同 2.8.2 平面梁的弯曲问题 下图为承受均布载荷的简支梁 模型, 因其厚 度较薄 ,外载 沿厚度方向没有变化,因此可看作为 一平面 问题。 2012/2/10 71 1 、基本变量 位移  对应为中性层的挠度 应变  为主应变,直线假定、中性层 应力  为主应力,其它分量很小可忽略 2 、基本方程 下面利用“微段”来推导三大方程 平衡方程 如右图所示应有3 个平衡方程即 0 X   d x A M yA    0 Y  0 dQ q  2012/2/10 72 0 Y   0 Q q dx   0 M   dM Q dx  几何方程 由几何变形关系有 x y    2 2 d dx    其中 为梁挠度的曲率 13 物理方程 由Hooke 定律有 xx E    对上述方程联立求解,即可得到平面 梁弯曲 问题的 基本方 程为 2 2 d d x y x    4 4 d d EI q x x   2 2 d d ME I x   2 2 d d x Ey x    从上式可看出 只要求出挠度 则可求出所有其它参量  2012/2/10 73 从上式可看出, 只要求出挠度 ,则可求出所有其它参量。  边界条件 位移 0 |0 x    |0 xl    力 0 |0 x M   |0 xl M   0 |0 x     |0 xl      求解 4 4 d d EI q x x   由方程 对挠度 进行积分有  432 0 3210 1 24 q x xc xc xc xc EI     将四个边界条件代入后有 2012/2/10 74 将四个边界条件代入后有 433 0 2 24 q x xl xl x EI   对其求两阶导数,即可得到应力、应 变和弯 矩 第3章 有限元分析中的数值方法 用有限单元法求解连续体力学 问题时 ,往往 要建立 以力 或位移为基本未知量的n 元线性代数方程 组。它 有2 种类 型 1 系数矩阵是稠密的 即很 少有零 元素 ,但阶 数不很 高; 2 系数矩阵是稀疏的 即有 很多零 元素 ,但阶 数很高 。 线性方程组的解法也可分为二类 1 直接法 经有限次四则运算即可得到 准解的 方法 假 设运算中 没有舍 入 误差 直接法 的 计算量较 小 精度较 高 2012/2/10 75 设运算中 没有舍 入 误差 。 直接法 的 计算量较 小 ,精度较 高 , 但相应的程序较复杂。 2 迭代法 用某种极限过程去逼近准确 解的方 法,实 际只有有 限迭代 步 ,所得到 的是近 似 解。迭代 法计算 量 较大, 但相应的程序较简单。 直接法适宜于求解稠密系数矩阵 ,但阶 数不高 的方程 组 和带状系数矩阵的高阶方程组,对于 非带状 的稀疏 系数矩 阵 的高阶方程组,应用迭代法会更为有 利。 3.1 线性方程组的解法 设有n 元线性方程 组                    n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a         2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 其 矩 阵式表为 3-1 3 2 2012/2/10 76 其矩阵形式可 表示 为 B AX  3-2 式中            nn n n a a a a A      1 1 11            n x x X  1            n b b B  1 设系数矩阵A 非奇异 ,即 ,则方程式3-1 有 唯一解向量X 。 0 det  A 1. GAUSS 1. GAUSS消去法 消去法 Gauss 消去法是一 种求 解n 元线 性方 程组的 有效

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